## Raisonnement par contraposition

Le raisonnement par contraposition est basé sur l'équivalence suivante :\((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline {Q} \Rightarrow \overline {P})\) .

Donc si l'on souhaite montrer l'assertion \((P \Rightarrow Q)\), on montre en fait que si \(\overline {Q}\) est vraie alors \(\overline {P}\) est vraie.

### Exemple :

Soit \(x \in \mathbb R\) . Montrer que : \((x \neq 2 \ et \ x \neq -2) \Rightarrow (x^{2} \neq 4)\).

Par contraposition ceci est équivalent : \((x^{2}=4) \Rightarrow (x=2 \ ou \ x=-2)\).

En effet, prenons \(x^{2}=4\), alors \((x+2)(x-2)=0\), donc \((x+2)=0 \ ou \ (x-2)=0\).