## Raisonnement par récurrence

Le principe de récurrence permet de montrer qu'une assertion \(P (n)\), dépendant de \(n\), est vraie pour tout \(n \in \mathbb N\) .

La démonstration par récurrence se déroule en deux étapes :

1. On prouve que\( P (0)\) est vraie.

2. On suppose \(n ≥ 0\) donné avec \(P (n)\) vraie, et on démontre alors que l'assertion \(P (n + 1)\) est vraie.

Enfin dans la conclusion, on rappelle que par le principe de récurrence \(P (n)\) est vraie, pour tout \(n \in \mathbb N\).

### Exemple :

Démontrer par récurrence la propriété : pour \(n \geq 1,\ 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\).

soit \(P(n)\) la propriété \(n \geq 1, \ 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\).

Étape 1 : \(P(1)\) est vraie car pour \(n=1\), on a : \(1=\frac{1(1+1)}{2}\).

Étape 2 : supposons \(P(n)\) vraie et montrons que \(P(n+1)\) (c'est à dire que : \(1+2+3+...+n+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)) est vraie.

On a :

\(\begin{array} {ccc} 1+2+3+...+n+n+1 & = & \frac{n(n+1)}{2}+n+1 \ \medskip \\ & = & \frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2} \ \medskip \\ & = &\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} \ \medskip \\ & = & \frac{(n+1)(n+2)}{2},\end{array} \)

ce qu'on voulait.

Pour en savoir plus sur le raisonnement regarde la vidéo. ici.