Mathématiques 1

Raisonnement par récurrence

Le principe de récurrence permet de montrer qu'une assertion , dépendant de , est vraie pour tout .

La démonstration par récurrence se déroule en deux étapes :

  1. On vérifie que est vraie.

  2. On suppose que vraie jusqu'à l'ordre , et on démontre alors que l'assertion est vraie.

Enfin dans la conclusion, on rappelle que par le principe de récurrence est vraie, pour tout .

Exemple

Démontrer par récurrence que : pour tout .

Pour , soit la propriété .

Étape 1 : est vraie car pour , on a  .

Étape 2 : on suppose que est vraie jusqu'à l'ordre et montrons que (c'est à dire que : ) est vraie.

On a

(1+2+3+...+n)+n+1 = \frac{n(n+1)}{2}+n+1= \frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}.

Ainsi,

P(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.

Donc, vraie. Ainsi

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