Les opérateurs logiques mathématiques
Si
est une assertion et
est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de
et de
.
L'opérateur logique "et" (
) (Conjonction)L'assertion
est vraie si
est vraie et
est vraie, et elle est fausse sinon. On résume ceci en une table de vérité :
Exemple :
est une assertion vraie.
est une assertion fausse.
L'opérateur logique "ou" (
) (Disjonction)
L'assertion "P ou Q" est vraie si l'une des deux assertions P ou Q est vraie. L'assertion (P ou Q) est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses. On reprend ceci dans la table de vérité :
Exemple :
est une assertion vraie.
est une assertion fausse.
La négation "non P"
L'assertion
est vraie si
est fausse, et fausse si
est vraie.
Exemple :
La négation de l'assertion
est l'assertion
.
L'implication
L'assertion
est par définition
. Sa table de vérité est donc la suivante :
Exemple :
est vraie.
est fausse (regarder pour
par exemple).
L'équivalence
L'équivalence
est définie par l'assertion
et
. On dira "
est équivalent à
" ou "
équivaut à
" ou "
si et seulement si
". Cette assertion est vraie lorsque
et
sont vraies simultanément ou lorsque
et
sont fausses simultanément. Sa table de vérité est :
Exemple :
Pour
, l'équivalence
est vraie.
Proposition
Soient
,
et
trois assertions. Nous avons les équivalences suivantes :
.
.
.
.
.
.
.
. L'assertion
est appelée la contraposée de
.
