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# Mathématiques 1

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- Chapitre 2 : Les ensembles, les relations et les applications
  - Introduction
  - Théorie des ensembles
  - Relations d'ordre, Relations d'équivalence
  - Les applications
    - Définition d'une application
    - Image direct, image réciproque
    - Application injective, surjective, bijective
  - Exercices

Contenu :

## Définition d'une application

### Définition :

Soient et des ensembles donnés, on appelle application de dans , toute correspondance entre les éléments de et ceux de qui associe à tout élément de un et seul élément de , on écrit :

- L'ensemble est dit ensemble de départ et est dit ensemble d'arrivée.

- L'élément est dit l' antécédent et est dit l'image de par .

- L'application est dite fonction si, pour chaque , il existe au plus tel que .

### Exemple :

Soit , tel que , alors est une application, avec et

### Définition : "Domaine de définition"

Soient deux ensembles quelconque et une fonction. On appelle domaine de définition de , noté l'ensemble des éléments au quels il existe un unique élément , telle que .

### Exemple :

Soit définie par , alors

.

### Définition : "Graphe"

Soient et des ensembles donnés. Le graphe d'une application est l'ensemble donné par : .

### Définition : "Égalité"

Soient deux applications. On dit que , sont égales si et seulement si : . On écrit alors .

### Définition : "Composition"

Soient , et trois ensembles et et deux applications telles que :

On peut définir une application de dans notée et appelée application composée de et par : , pour tout .

### Définition :

Soit un ensemble, on appelle application identité, notée l'application qui à associe , .

### Exemple :

Soient et définies par

, et , .

Alors, est donnée par

.

### Définition : "Restriction"

Soit et une application. On appelle restriction de à , l'application définie par : , pour tout .

### Définition : "Prolongement"

Soient des ensembles tels que et une application. On appelle prolongement de à , toute application de vers dont la restriction à est .

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