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# Mathématiques 1

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Contenu :

## Relation d'équivalence

### Définition :

Une relation binaire sur est une relation d'équivalence si elle est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

### Définition :

Soit une relation d'équivalence sur . On appelle classe d'équivalence de , l'ensemble des éléments de en relation avec par , noté ou ou bien :

.

La classe d'équivalence est non vide car comme est réflexive et contient de ce fait au moins .

On notera par : .

L'ensemble des classes d'équivalence de par la relation qui est appelé espace quotient.

### Exemple :

Dans , on définit la relation par : .

Cette relation est bien une relation d'équivalence. En effet,

- Soit , on a

  or donc , donc est une relation réflexive.

- Soient , on a

  alors, est une relation symétrique.

- Soient , on a

  alors est une relation transitive.

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