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# Mathématiques 1

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- Chapitre 2 : Les ensembles, les relations et les applications
  - Introduction
  - Théorie des ensembles
  - Relations d'ordre, Relations d'équivalence
  - Les applications
    - Définition d'une application
    - Image direct, image réciproque
    - Application injective, surjective, bijective
  - Exercices

Contenu :

## Application injective, surjective, bijective

### Définition : "Injection"

Soit une application. On dit que est injective si et seulement si :

.

### Exemple :

Soit l'application définie par , alors est injective. En effet,

soient tels que : ,

car .

### Définition : "Surjection"

Soit une application. On dit que est surjective si et seulement si : pour tout , il existe au moins tel que , i.e :

### Exemple :

Soit l'application définie par , alors est surjective. En effet,

Soit , pour (ou ), on a :

et , donc

### Définition : "Bijection"

Soit une application. On dit que est bijective (ou est une bijection de sur ) si et seulement si est à la fois injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout il existe un unique tel que .

Autrement dit :

### Exemple :

Soit l'application définie par , alors est bijective.

En effet, soit , on a

. donc il existe un unique dans tel que .

### Définition : "Application réciproque"

Soit une application bijective. On définit l'application , appelée application réciproque de , par : si et seulement si .

### Exemple :

Soit l'application définie par , alors est bijective, car

pour tout , l'équation admet une unique solution .

L'application réciproque est définie par : , pour tout .

### Proposition

Soient , deuxs ensembles et une application. L'application est bijective si et seulement s'il existe une application telle que : et .

### Exemple :

Soit définie par , , est bijective, son application réciproque est définie par .

On a

et , telles que

et

### Proposition

Soient et des applications bijectives. L'application est bijective et sa fonction réciproque est .

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