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# Mathématiques 1

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- Chapitre 2 : Les ensembles, les relations et les applications
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    - Inclusion, union, intersection, complémentaire
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  - Exercices

Contenu :

## Inclusion, union, intersection, complémentaire

### Définition : "Inclusion"

Un ensemble est inclus dans un ensemble , si tout élément de est un élément de et on écrit .

Autrement dit : .

On dit alors que est un sous-ensemble de ou une partie de .

### Exemple :

On a : .

### Définition :

Deux ensembles et sont égaux ( ) si et seulement si chacun est inclus dans l'autre, c'est-à-dire : et .

### Définition :

Soit un ensemble, on forme un ensemble appelé ensemble des parties de , noté qui est caractérisé par la relation suivante :

.

### Exemple :

Si , alors : .

### Remarque :

Si alors .

### Définition : "Complémentaire"

Soit un ensemble et soit , on appelle complémentaire de dans , noté : ou ou l'ensemble des éléments de qui n'appartiennent pas à A, c'est-à-dire :

### Exemple :

Soient , , alors .

### Définition : "Union"

On appelle réunion des deux ensembles et , noté l'ensemble formé des éléments qui appartiennent à ou à , c'est-à-dire : .

### Complément :

Soient , , des parties d'un ensemble , alors il est clair que :

- Commutativité : .

- Associativité : .

- .

- et .

### Définition : "Intersection"

On appelle intersection des deux ensembles et , noté l'ensemble formé des éléments qui appartiennent à et à c'est-à-dire : .

### Complément :

Soient , , des parties d'un ensemble , alors il est clair que :

- Commutativité : .

- Associativité : .

- .

- et .

### Exemple :

Si et , alors : et .

### Définition :

Soit un ensemble, on dit que l'ensemble est fini si le nombre d'éléments de est fini.

Le nombre d'éléments de s'appelle le cardinal de , noté .

### Exemple :

- n'est pas un ensemble fini.

- Si , alors . D’où est fini.

### Définition : "Différence"

Soit un ensemble, on appelle différence de et , noté ; l'ensemble formé des éléments qui appartiennent à et n'appartiennent pas à , c'est-à-dire : .

### Définition : "Différence symétrique"

On appelle différence symétrique de et , noté ; l'ensemble formé des éléments qui appartiennent à et n'appartiennent pas à , c'est-à-dire : .

### Exemple :

Si , et , alors : , et .

### Proposition

Soient , , des parties d'un ensemble , alors :

- Distributivité : .

- Distributivité : .

### Démonstration

### Proposition : "Loi de Morgan"

Soient et des parties d'un ensemble , alors :

- .

- .

### Démonstration

### Remarque :

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