Application injective, surjective, bijective
Définition : "Injection"
Soit
une application. On dit que
est injective si et seulement si :
.
Exemple :
Soit
l'application définie par
, alors
est injective. En effet,
soient
tels que :
,
car
.
Définition : "Surjection"
Soit
une application. On dit que
est surjective si et seulement si : pour tout
, il existe au moins
tel que
, i.e :
Exemple :
Soit
l'application définie par
, alors
est surjective. En effet,
Soit
, pour
(ou
), on a :
et
, donc
Définition : "Bijection"
Soit
une application. On dit que
est bijective (ou
est une bijection de
sur
) si et seulement si
est à la fois injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout
il existe un unique
tel que
.
Autrement dit :
Exemple :
Soit
l'application définie par
, alors
est bijective.
En effet, soit
, on a
. donc il existe un unique
dans
tel que
.
Définition : "Application réciproque"
Soit
une application bijective. On définit l'application
, appelée application réciproque de
, par :
si et seulement si
.
Exemple :
Soit
l'application définie par
, alors
est bijective, car
pour tout
, l'équation
admet une unique solution
.
L'application réciproque est
définie par :
, pour tout
.
Proposition
Soient
,
deuxs ensembles et
une application. L'application
est bijective si et seulement s'il existe une application
telle que :
et
.
Exemple :
Soit
définie par
,
,
est bijective, son application réciproque est
définie par
.
On a
et
, telles que
et
Proposition
Soient
et
des applications bijectives. L'application
est bijective et sa fonction réciproque est
.
