Définition d'une application
Définition :
Soient
et
des ensembles donnés, on appelle application de
dans
, toute correspondance
entre les éléments de
et ceux de
qui associe à tout élément de
un et seul élément de
, on écrit :
L'ensemble
est dit ensemble de départ et
est dit ensemble d'arrivée.
L'élément
est dit l' antécédent et
est dit l'image de
par
.
L'application
est dite fonction si, pour chaque
, il existe au plus
tel que
.
Exemple :
Soit
, tel que
, alors
est une application, avec
et
Définition : "Domaine de définition"
Soient
deux ensembles quelconque et
une fonction. On appelle domaine de définition de
, noté
l'ensemble des éléments
au quels il existe un unique élément
, telle que
.
Exemple :
Soit
définie par
, alors
.
Définition : "Graphe"
Soient
et
des ensembles donnés. Le graphe d'une application
est l'ensemble donné par :
.
Définition : "Égalité"
Soient
deux applications. On dit que
,
sont égales si et seulement si :
. On écrit alors
.
Définition : "Composition"
Soient
,
et
trois ensembles et
et
deux applications telles que :
On peut définir une application de
dans
notée
et appelée application composée de
et
par :
, pour tout
.
Définition :
Soit
un ensemble, on appelle application identité, notée
l'application qui à
associe
,
.
Exemple :
Soient
et
définies par
,
et
,
.
Alors,
est donnée par
.
Définition : "Restriction"
Soit
et
une application. On appelle restriction de
à
, l'application
définie par :
, pour tout
.
Définition : "Prolongement"
Soient
des ensembles tels que
et
une application. On appelle prolongement de
à
, toute application
de
vers
dont la restriction à
est
.
