Inclusion, union, intersection, complémentaire
Définition : "Inclusion"
Un ensemble
est inclus dans un ensemble
, si tout élément de
est un élément de
et on écrit
.
Autrement dit :
.
On dit alors que
est un sous-ensemble de
ou une partie de
.
Exemple :
On a :
.
Définition :
Deux ensembles
et
sont égaux (
) si et seulement si chacun est inclus dans l'autre, c'est-à-dire :
et
.
Définition :
Soit
un ensemble, on forme un ensemble appelé ensemble des parties de
, noté
qui est caractérisé par la relation suivante :
.
Exemple :
Si
, alors :
.
Remarque :
Si
alors
.
Définition : "Complémentaire"
Soit
un ensemble et soit
, on appelle complémentaire de
dans
, noté :
ou
ou
l'ensemble des éléments de
qui n'appartiennent pas à A, c'est-à-dire :
Exemple :
Soient
,
, alors
.
Définition : "Union"
On appelle réunion des deux ensembles
et
, noté
l'ensemble formé des éléments
qui appartiennent à
ou à
, c'est-à-dire :
.
Complément :
Soient
,
,
des parties d'un ensemble
, alors il est clair que :
Commutativité :
.Associativité :
.
.
et
.
Définition : "Intersection"
On appelle intersection des deux ensembles
et
, noté
l'ensemble formé des éléments
qui appartiennent à
et à
c'est-à-dire :
.
Complément :
Soient
,
,
des parties d'un ensemble
, alors il est clair que :
Commutativité :
.Associativité :
.
.
et
.
Exemple :
Si
et
, alors :
et
.
Définition :
Soit
un ensemble, on dit que l'ensemble
est fini si le nombre d'éléments de
est fini.
Le nombre d'éléments de
s'appelle le cardinal de
, noté
.
Exemple :
n'est pas un ensemble fini.
Si
, alors
. D’où
est fini.
Définition : "Différence"
Soit
un ensemble, on appelle différence de
et
, noté
; l'ensemble formé des éléments
qui appartiennent à
et n'appartiennent pas à
, c'est-à-dire :
.
Définition : "Différence symétrique"
On appelle différence symétrique de
et
, noté
; l'ensemble formé des éléments
qui appartiennent à
et n'appartiennent pas à
, c'est-à-dire :
.
Exemple :
Si
,
et
, alors :
,
et
.
Proposition
Soient
,
,
des parties d'un ensemble
, alors :
Distributivité :
.Distributivité :
.
Démonstration
Proposition : "Loi de Morgan"
Soient
et
des parties d'un ensemble
, alors :
.
.
Démonstration
Remarque :
