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# Mathématiques 1

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- Chapitre 3 : Les fonctions réelles à une variable réelle
  - Introduction
  - Notions de fonctions
  - Limite d'une fonction
  - Continuité d'une fonction
    - Continuité en un point
    - Prolongement par continuité
    - Théorèmes des valeurs intermédiaires
  - Dérivée et différentiabilité d'une fonction
  - Exercices

Contenu :

## Continuité en un point

### Définition : Continuité en un point

Soit un intervalle de et une fonction définie sur .

- On dit que est continue en un point si , i.e

  .

- On dit que est continue sur si f est continue en tout point de .

### Remarque :

On note ou l'ensemble des fonctions continues sur à valeurs dans .

### Définition : Continuité à droite et à gauche

- On dit que est continue à droite en point si .

- On dit que est continue à gauche en point si .

- est continue en est continue à droite et à gauche en

### Exemple :

Les fonctions suivantes sont continues sur :

- La fonction racine carrée avec .

- Les fonctions et avec .

- La fonction avec .

- La fonction avec .

- La fonction valeur absolue avec .

### Exemple :

- Soit définie par .

  On a

  , mais .

  Dans ce cas, on dit que n'admet pas une limite en . Ici est continue à droite en mais n'est pas continue à gauche en , donc n'est pas continue en

### Exemple :

- Soit définie par

  Alors, n'est pas continue à gauche en . Car

.

Par contre, est continue à droite en . Car

.

On conclut donc que, n'est pas continue en .

### Proposition :

Soient deux fonctions continues en un point . Alors

- est continue en (pour tout ).

- est continue en .

- est continue en .

- si , alors : est continue en .

### Proposition :

Soient et deux fonctions telles que .

Si est continue en un point et si est continue en , alors est continue en .

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