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# Mathématiques 1

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- Chapitre 3 : Les fonctions réelles à une variable réelle
  - Introduction
  - Notions de fonctions
  - Limite d'une fonction
  - Continuité d'une fonction
  - Dérivée et différentiabilité d'une fonction
    - Dérivée en un point
    - Dérivée des fonctions usuelles
    - Dérivées successives
    - Théorème de Rolle
    - Théorème des accroissements finis
    - Fonction croissante et dérivée
  - Exercices

Contenu :

## Dérivée en un point

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.

En physique, lorsqu'une grandeur est en fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée seconde donne l'accélération.

### Définition : Fonction dérivable

Soient un intervalle ouvert de et une fonction définie sur . Soit .

est dérivable en si le taux d'accroissement a une limite finie lorsque tend vers

La limite s'appelle le nombre dérivé de en et est noté .

Ainsi .

### Proposition : "Autre écriture de la dérivée"

est dérivable en si et seulement si existe et est finie.

### Preuve :

On a .

On pose : , alors .

Donc, .

### Rappel :

Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si est dérivable en alors la courbe représentative de la fonction admet une tangente au point , de coefficient directeur .

### Définition :

est dérivable sur si est dérivable en tout point . La fonction est la fonction dérivée de , elle se note ou .

### Exemple :

Soit la fonction définie par : . Étudions la dérivabilité de en .

On a

Donc, est dérivable en et .

### Définition : Dérivabilité à droite et à gauche

- est dérivable à droite en , si .

- est dérivable à gauche en , si .

- est dérivable en est dérivable à droite et à gauche en et .

### Proposition :

Soient un intervalle ouvert, et une fonction définie sur .

- Si est dérivable en alors est continue en

- Si est dérivable sur alors est continue sur .

### Remarque :

La réciproque est fausse. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en mais n'est pas dérivable en .

Puisque,

### Proposition : "Opérations sur les dérivées"

Soient deux fonctions dérivables sur . Alors pour tout :

- est dérivable en , et .

- est dérivable en , et .

- Si , alors est dérivable en , et on a .

- Si , alors est dérivable en , et on a .

### Proposition : "Dérivation des fonctions composées"

Soient et deux fonctions telles que , et .

Si est dérivable en , et est dérivable en , alors est dérivable en et on a .

### Exemple :

Calculons la dérivée de .

Nous avons et

Alors, .

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