Continuité en un point
Définition : Continuité en un point
Soit
un intervalle de
et
une fonction définie sur
.
On dit que
est continue en un point
si
, i.e
.On dit que
est continue sur
si f est continue en tout point de
.
Remarque :
On note
ou
l'ensemble des fonctions continues sur
à valeurs dans
.
Définition : Continuité à droite et à gauche
On dit que
est continue à droite en point
si
.On dit que
est continue à gauche en point
si
.-
est continue en
est continue à droite et à gauche en
Exemple :
Les fonctions suivantes sont continues sur
:
La fonction racine carrée
avec
.Les fonctions
et
avec
.La fonction
avec
.La fonction
avec
.La fonction valeur absolue
avec
.
Exemple :
Soit
définie par
.On a
, mais
.Dans ce cas, on dit que
n'admet pas une limite en
. Ici
est continue à droite en
mais n'est pas continue à gauche en
, donc
n'est pas continue en
Exemple :
Soit
définie par
Alors,
n'est pas continue à gauche en
. Car
.
Par contre,
est continue à droite en
. Car
.
On conclut donc que,
n'est pas continue en
.
Proposition :
Soient
deux fonctions continues en un point
. Alors
est continue en
(pour tout
).
est continue en
.
est continue en
.si
, alors :
est continue en
.
Proposition :
Soient
et
deux fonctions telles que
.
Si
est continue en un point
et si
est continue en
, alors
est continue en
.
