Dérivée en un point
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.
En physique, lorsqu'une grandeur est en fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée seconde donne l'accélération.
Définition : Fonction dérivable
Soient
un intervalle ouvert de
et
une fonction définie sur
. Soit
.
est dérivable en
si le taux d'accroissement
a une limite finie lorsque
tend vers
La limite s'appelle le nombre dérivé de
en
et est noté
.
Ainsi
.
Proposition : "Autre écriture de la dérivée"
est dérivable en
si et seulement si
existe et est finie.
Preuve :
On a
.
On pose :
, alors
.
Donc,
.
Rappel :
Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si
est dérivable en
alors la courbe représentative de la fonction
admet une tangente au point
, de coefficient directeur
.
Définition :
est dérivable sur
si
est dérivable en tout point
. La fonction
est la fonction dérivée de
, elle se note
ou
.
Exemple :
Soit la fonction définie par :
. Étudions la dérivabilité de
en
.
On a
Donc,
est dérivable en
et
.
Définition : Dérivabilité à droite et à gauche
-
est dérivable à droite en
, si
. -
est dérivable à gauche en
, si
. -
est dérivable en
est dérivable à droite et à gauche en
et
.
Proposition :
Soient
un intervalle ouvert,
et
une fonction définie sur
.
Si
est dérivable en
alors
est continue en
Si
est dérivable sur
alors
est continue sur
.
Remarque :
La réciproque est fausse. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en
mais n'est pas dérivable en
.
Puisque,
Proposition : "Opérations sur les dérivées"
Soient
deux fonctions dérivables sur
. Alors pour tout
:
est dérivable en
, et
.
est dérivable en
, et
.Si
, alors
est dérivable en
, et on a
.Si
, alors
est dérivable en
, et on a
.
Proposition : "Dérivation des fonctions composées"
Soient
et
deux fonctions telles que
, et
.
Si
est dérivable en
, et
est dérivable en
, alors
est dérivable en
et on a
.
Exemple :
Calculons la dérivée de
.
Nous avons
et
Alors,
.
