Fonction puissance
Définition :
On appelle fonction puissance d'un réel
positif, la fonction
définie sur
par :
.
Exemple :
Remarque :
La fonction puissance est strictement positive du fait de sa notation exponentielle :
.
Propriétés :
Pour tous
, on a les égalités suivantes :
.
et
.
.
Étude de la fonction puissance :
Soit la fonction
définie sur
par :
Comme
, elle est continue et dérivable sur
, car composition de fonctions continues et dérivables sur
.
On a alors :
.
Le signe de la dérivée dépend donc du signe de
.
Si
, on a alors :
, la fonction puissance est croissante.Si
, on a alors :
, la fonction puissance est décroissante.
Limite à l'infini :
