Mathématiques 1

Développement limité au voisinage d'un point

Pour déterminer le (DL) au voisinage de , on pose   : ( ). Puis, on écrit le (DL) au voisinage de et on remplace par

Exemple

DL de la fonction au voisinage de d'ordre .

On pose :

On a DL de la fonction au voisinage de  :

.

Alors,

Ainsi,

D’où,

Exemple

DL de la fonction au voisinage de d'ordre .

On pose :

On a :

\ln\ (1+3x)=\ln\ (1+3h+3)=\ln\ (4+3h)=\ln\ (4(1+\frac{3h}{4}))=\ln\ (4)+\ln\ (1+\frac{3h}{4}).

Donc,

, Alors

\ln\ (1+\frac{3h}{4})=\frac{3h}{4}-\frac{1}{2}(\frac{3h}{4})^{2}+\frac{1}{3}(\frac{3h}{4})^{3}+O(h^{3})=\frac{3h}{4}-\frac{9h^{2}}{32}+\frac{9h^{3}}{64}+o(h^{3}).

Ainsi,

\ln\ (1+3x)=\ln\ (4)+\frac{3(x-1)}{4}-\frac{9(x-1)^{2}}{32}+\frac{9(x-1)^{3}}{64}+o((x-1)^{3}).

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