Opérations sur les développements limités
Soient
deux fonctions dont les développements limités au
sont
Ou
Somme et produit :
Le développement de la somme
est
Le produit admet le développement suivant :
Exemple :
DL d'ordre
au voisinage de
de la fonction
est
Ainsi,
Exemple :
DL d'ordre
au voisinage de
de la fonction
est
Ainsi,
Quotient :
On a
Si
et
. Alors,
Donc,
D’où,
.
On pose
, et en utilisant le DL de
, on obtient le DL de
Puis on multiple par le DL de
à l'ordre
Remarque :
Si
admet un DL au voisinage de
.
Exemple :
Calculons le DL de la fonction
à l'ordre
au point
.
Comme
alors on a
et
.
Appliquons la division selon les puissances croissantes, on obtient
Complément : Parité du DL en 0
Si
est une fonction paire qui admet un DL en
, alors son DL ne contient que des puissances paire de
.Si
est une fonction impaire qui admet un DL en
, alors son DL ne contient que des puissances impaire de
.
Par exemple,
et
Propriétés :
Si f admet un DL en x_{0} alors
existe.Si
admet un DL au voisinage de
et
est continue en
alors
est dérivable en
Conséquences :
Si
n'admet pas de limite en
, alors f n'admet pas de DL en
. par exemple,
en
.Si
n'est pas dérivable en
et
est continue en
alors
n'admet pas DL au voisinage de
. Par exemple,
en
. Comme
est continue en
et elle n'est pas dérivable en
donc elle n'admet pas DL au voisinage de
.
Composition des DL :
Soit
avec
(resp.
) est la partie régulière ( ou principale) du DL à l'ordre
de
(resp.
).
Proposition :
Si
, alors la fonction composée
admet alors un DL en 0 à l'ordre
, sa partie régulière ( ou principale) s'obtient en tronquant à l'ordre
, la composée
Exemple :
Calcul du DL de
en
à l'ordre
.
Quand
tend vers
,
tend vers
, alors
Considérons ensuite l'expression
, au voisinage de
, on a
En remplaçant
par sa valeur, on trouve
.
Exemple :
Développement limité de
à l'ordre
au voisinage de
sur
On a
.
On pose
Ainsi
D’où,
