Développement limité au voisinage de 0
Définition :
Soit
une fonction définie sur un voisinage de
, sauf peut-être en
On dit que
admet un développement limité d'ordre
au voisinage de
, s'il existe un intervalle ouvert
de centre
et des constantes
tels que pour tout
, on a
ou
avec
Le polynôme
est dit partie régulière du développement limité et
le reste ou terme complémentaire.
Exemple :
Pour
, on obtient par division suivant les puissances croissantes à l'ordre
or,
quand
, d’où le développement limité de
.
Théorème :
Si
admet un DL d'ordre
au voisinage de
, alors ce DL est unique.
Conséquence :
Si
admet un DL à l'ordre
au
et f de classe
, alors
.
Théorème :
Une fonction de classe
sur un intervalle
(
) et que
existe. Alors
admet au voisinage de
le développement limité d'ordre
suivant
Exemple :
Le développement limité d'ordre 4 de quelques fonctions usuelles au voisinage de
:
.
.
.
.
.
.
