Noyau, image et rang d'une application linéaire
Définition :
Soit
une application linéaire de
dans
.
L'ensemble
s'appelle l'image de l'application linéaire
et est noté
, donc
L'ensemble
s'appelle le noyau de l'application linéaire f et est noté
, donc
Proposition :
Soit
une application linéaire de
dans
, alors
-
est un sous-espace vectoriel de
.
-
est un sous-espace vectoriel de
.
Exemple :
Soit
une application linéaire définie par
Le noyau de l'application linéaire
est 
donc Kerf est un sous-espace vectoriel engendré par
donc il est de dimension
, et sa base est
L'image de l'application linéaire
Définition :
Soit
une application linéaire de
dans
, si
, alors
est appelé le rang de f et on le note rg (f).
Proposition :
Soit
une application linéaire de
dans
. On a les équivalences suivantes
-
est surjective
-
est injective
Exemple :
Soit
définie par
On a
Ainsi,
D’où,
et
Ainsi,
D’où,
alors
et
, donc
est bijective.
Proposition :
Soit
une application linéaire de
dans
avec dimension de
finie. Alors, on a
Corollaire :
Soient
des
-e.v et
est une application linéaire de
vers
avec
.
Si l'application linéaire
est injective alors
Si l'application linéaire
est surjective alors
Si l'application linéaire
est bijective alors
Exemple :
Soit
définie par
On a
Ainsi,
D’où,
Alors,
, et comme
donc
Théorème :
Soient
et
deux espaces vectoriels réels de dimensions finies. Si
est une application linéaire de
vers
, alors
-
est injective ssi
-
est surjective ssi
-
est bijective ssi
