Mathématiques 1

Définitions et propriétés

Soit un ensemble. Une loi de composition interne (l.c.i) sur est une application de dans .

Si est le symbole désignant cette l.c.i, l'image de est notée .

Ainsi, se donner une l.c.i sur E, c'est se donner une application

$\begin{array}{l} E \times E \rightarrow E \\ \medskip \ (x,y) \mapsto x \ast y.\end{array}$

Sur , l'addition , la multiplication et la soustraction sont des lois de compositions internes.
La division constitue une l.c.i sur l'ensemble (ou sur ou ).

Dans toute cette section, désigne un ensemble muni d'une l.c.i.

On dit que est associative lorsque, pour tous ,

On dit que est commutative lorsque, pour tous , .

admet un élément neutre si, .

admet un élément symétrique dans si tout éléments de admet un symétrique dans , i.e

Dans on définit la loi de composition par

La loi est interne sur . En effet,
soient , montrons que , comme
$x*y=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+y-2xy=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x(1-2y)-\frac{1}{2}(1-2y)=0, \bigskip \\ x*y=\frac{1}{2} \Leftrightarrow (1-2y)(x-\frac{1}{2})=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2} \ \ ou \ \ x=\frac{1}{2}.$
D'où
et alors est une loi interne.
La loi est commutative. En effet,
Soient , on a

donc la loi est commutative.
La loi est associative. Car, pour tout , on a

Ainsi,

D’où,

donc, la loi est associative.
La loi admet un élément neutre, car
Soit , tel que : , alors

Donc la loi admet comme l'élément neutre élément .
La loi admet un élément symétrique. En effet, on a
Soit , , alors
. (car
Donc, l'élément symétrique de est
pour tout .

Soit un ensemble muni de deux lois de composition internes, notées et .

On dit que est distributive par rapport à si :