Définitions et propriétés élémentaires
Soit
un corps commutatif (généralement
ou
) et soit
un ensemble non vide muni d'une loi interne notée (
) tq
et d'une loi externe notée
Définition :
Un espace vectoriel sur le corps
ou un
- espace vectoriel est un triplet
tel que
est un groupe commutatif.
.
.
.
. (
est l'élement neutre de
dans
)
Les éléments de l'espace vectoriel sont appelés vecteurs et ceux de
des scalaires.
Exemple :
est un
- espace vectoriel.
est un
- espace vectoriel.
est un
- espace vectoriel.
Proposition :
Si
est
- espace vectoriel, alors on a les propriétés suivantes
.
.
.
.
.
Définition :
Soit
un
- espace vectoriel et soit
un sous-ensemble non vide de
.
On dit que
est sous espace vectoriel si
est aussi un
-espace vectoriel.
Théorème :
Soit
un
- espace vectoriel et
,
on a les équivalences suivantes
-
est un sous espace vectoriel de
.
-
est stable par l'addition et par la multiplication c'est à dire :
.
Exemple :
Soit
(l'ensemble de tous les polynômes de degré
, on définie le sous ensemble
par
H est un sous-espace vectoriel de
, car
Pour
, on a :
Soient
et
. Alors 
Soient
et
, on a
, alors :
avec
, donc
Proposition :
L'intersection d'une famille non vide de sous espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Remarque :
La réunion de deux sous-espace vectoriel n'est pas forcément un sous-espace vectoriel.
Exemple :
Soient
et
deux sous-espaces vectoriels dans
,
n'est un sous-espace vectoriel, car
Pour
on trouve
