Structure de groupe
Définition :
Soit
un ensemble muni d'une loi de composition
. On dit que
est un groupe si la loi
satisfait aux trois conditions suivantes :
-
est une loi de composition interne.
-
est associative.
-
admet un élément neutre.
Chaque élément de
admet un symétrique pour
.
Si de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Exemple :
, où
la loi définie dans l'exemple précédent, est un groupe.
est un groupe commutatif.
n'est pas un groupe car
n'admet pas d'élément symétrique.
est un groupe commutatif.
Définition :
Soit
un groupe. Une partie
(non vide) est un sous groupe de E si, la restriction de l'opération
à
lui confère la structure de groupe.
Proposition :
Soit
une partie non vide du groupe
. Alors,
est un sous-groupe de
si, et seulement si
pour tout
, on a
.pour tout
, on a
, avec
le symétrique de
.
Exemple :
est un sous-groupe de
. En effet,
Si
alors
Si
, alors l'élément symétrique de
noté
