Structure d'anneau
Définition :
Soit
un ensemble muni de deux lois de compositions que on noterons
et
.
On dit que
est un anneau si les conditions suivantes sont satisfaites
est un groupe commutatif.La loi
est associative.La loi
est distributive par rapport à la loi
.
Remarque :
Si de plus la loi
est commutative, on dit que l'anneau
est commutatif.
Si la loi
admet un élément neutre, on dit que l'anneau
est unitaire.
Exemple :
est un anneau commutatif et unitaire.
Définition :
Si
est un anneau et
est une partie de
, on dit que
est un sous-anneau de
si,
muni des lois induites par
, est lui-même un anneau, c'est-à-dire
est un anneau.
Dans ce qui suit,
désignera l'anneau
avec
l'élément neutre de
et s'il est unitaire,
serait son unité.
Proposition : "Caractérisation des sous anneaux"
Une partie
de l'anneau
est un sous-anneau de
si et seulement si
Pour tous
Pour tous
Exemple :
L'ensemble
est un sous-anneau de l'anneau
En effet,
soient
, il existe
, tels que :
et
, et on a
et
